WP SiteManagerでモバイル用とPC版のテーマを切り替えていたのですが、
Maintenance Modeを導入して503.phpを作成してメンテナンスページを表示させようと思ったのですが
スマートフォンからみてもPC版のメンテナンスページが表示されてしまいました。

どうも同じタイミングでテーマの切り替え処理を行っているのが原因でした。
(両方plugins_loadedにフックしている。)
そこでmentenance_modeの中のplugins-loaded.phpを開き、
下の方にある

add_action('plugins_loaded', array($myMaMo, 'ApplyMaintenanceMode'));

の箇所を

add_action('plugins_loaded', array($myMaMo, 'ApplyMaintenanceMode'),20);

に変更しました。
これでメンテナンスモードのほうが後から読まれてテーマが切り替わった後に503.phpを探しに行くので想定した動きをしてくれます。